求多项式有理根的步骤

算法：P(x) =anx+an−1x+ ... +a1x+a0，a0, ...,an∈Z,P(p/q) = 0 ，p,q∈Z:-a0qn整除p，因为p,q互质所以a0整除p，p是a0的因子。同理可证明q是an的因子。

有理根定理

定理：

设，一有理系数方程f(x)=a x+...+a x+a ,其中a ≠0。若有一有理数x 是f(x)的根，显然x =s/t，其中s、t∈Z且(s，t)=1，则|t|整除|a ,且|s|整除|a |。

应用：

例：求f(x)=x-6x+15x-14的全部复数根

解 设f(x)存在有理根s/t,则t|1,s|14.因此t=1。

又当x<0,恒有f(x)<0.则f(x)的实根只能大于0，

∴s∈1、2、7、14。

带入f(x)试验知道2是f(x)的根，有x-2除f(x)得到q(x)=x-4x+7。

易得q(x)的根为2±√3i

∴f(x)的根是2、2±√3 i

证明：

P(x) =anx+an−1x+ ... +a1x+a0，a0, ...,an∈Z,P(p/q) = 0 ，p,q∈Z:-a0qn整除p，因为p,q互质所以a0整除p，p是a0的因子。同理可证明q是an的因子。